寫作也能幫助提升數學能力？

訓練寫作能幫助兒童改善數學成績嗎？許多數學老師並不這麼認為，他們覺得兩者之間是沒有什麼關聯的。但實際上，透過寫作的訓練，確實可以幫助兒童理解數學問題、制定策略，以及訓練兒童的後設認知，進而提高兒童問題解決的能力。以下利用美國學者 Brozo 與 Crain的範例說明數學寫作的五個步驟。

圖片來源：Pexels，攝影師：picjumbo.com，

數學寫作的五步驟：

Brozo 與 Crain（2017）利用雞兔同龍的國中數學題目，以五個寫作步驟引導學生思考數學問題。

『 麥當勞先生想要計算農場裡有多少隻豬跟雞。奇怪的是，他只計算了這群動物頭的數量跟腳的數量，他總共算了農場裡共有30個頭，共有70隻腳。請問麥當勞先生的農場裡有多少隻豬？多少隻雞？ 』

步驟一：寫下對問題要你做什麼？寫下對問題的理解

我需要計算農場裡豬的數量與雞的數量。

步驟二：寫下你為解答此問題所擬定的計畫，你打算怎麼做？

我要利用問題的資訊將農場裡動物以數學的等式呈現，我會先以文字的方式呈現，在思考如何使用數字替代。

步驟三：列出策略執行過程以及解釋作法

寫出解答思考步驟（解釋你寫下的步驟）

1. 雞加豬的數量等於農場裡動物的總數（我會知道是因為題目要我決定農場裡有幾隻豬幾隻雞）
2. 雞＋豬＝30（每隻動物只有一個頭，而農場裡有30個頭）
3. 雞+（30-雞）＝30。若雞＝c，則豬 =30-c（我知道兩個變項加或減會相同，所以我決定先將其中一個動物（豬）的數量轉換成與另一個動物（雞）來呈現。會這麼做是因為我知道農場裡只有30頭動物，我知道豬的數量等於30減雞的數量）
4. ？（我開始混亂了，所以我重讀了問題。我發現另一個重要的數字—70隻腳。我知道雞有兩隻腳，豬有四隻腳，所以我可以利用這些資訊在寫個等式）
5. （2x雞）＋（4x豬）＝70（現在我可以將第三步驟的代表雞與豬的變量帶入，因為我不能加入不同的變量）
6. 2c+4（30-c）=70（現在我可以簡化方程式，因為“c”代表雞的數量，當我解開這方程式時，我便能知道總共有多少隻雞）
7. 2c+120-4c=70（繼續簡化方程式，我可以利用等號兩邊共同減去120也相等的特性作答）
8. 2c+120-120-4c=70-120 -> 2c-4c=50 -> -2c=-50 ->c=25（我簡化等式的左側，讓左側只剩下變數。因為2跟50都是負數，因為雞的數量不會是負數的，所以結果是正的25。現在我已經知道農場內雞的數量了，我只要回到我第三步驟所列的等是我就可以知道豬的數量）
9. 雞＋豬＝30 -> 25＋豬＝30 -> 豬＝30-25 ->豬＝5（我帶入我的結果解答此等式，因此我的答案是農場裡有25隻雞跟5隻豬）

步驟四：為你問題解決的方法的辯駁，寫下為何你認為這是最好的方法

我使用問題提供的資訊建立等式，以及我有對於這兩種動物的先備知識，我知道這兩種動物有幾隻腳。這個方法比起裡用猜測與表格的方式還要快速。如果還要我做一次的話，我會以豬作為變數定義雞的數量，因為這樣數字會較容易計算。

步驟五：延伸思考，寫下你針對問題所發現的觀察、規則，並提出額外的解答方式

我可以建立一個表格，並透過此方式獲得答案。我認為他會花費較長的時間，但同樣可以獲得解答。

資料來源：Brozo & Crain (2007). Writing in math: A disciplinary literacy approach. The Clear House: A Journal of Educational Strategies, Issues and Ideas, 0, p.5.

參考資料

1.  Brozo & Crain (2007). Writing in math: A disciplinary literacy approach. The Clear House: A Journal of Educational Strategies, Issues and Ideas, 0, 1-7. http://doi.org/10.1080/00098655.2017.1342435
   
   
   

幾何圖形變化對學齡前幼兒辨識的影響

過往研究發現幼兒在幾何的發展開始是侷限的（local understanding），往往會因為觀視點不同（改變大小）而改變對形狀的看法。周淑惠（1995）[1] 以一張正方形色紙來實驗，並以近距離與遠距離方式來相比較，在此階段的幼兒會認為這張正方形色紙形狀已改變而且變小了，倘若再放回原先近距離的位置，幼兒則會認為原正方形色紙已恢復到原先的樣子，也就是說幼兒會因為圖形位置擺放不同而影響辨識 [2]，例如：正方形若不是呈現水平方位的就不是正方形。

圖片來源：Pexels，攝影師：Artem Podrez

Aslan 與 Arnas（2007）[3] 參考了過去的幾何圖形設計（Satlow & Newcombe, 1998; Clements et al., 1999; Hannibal & Clements, 2000），並使用非典型（Atypical）指稱那些非定義屬性（non-defining attributes）的圖形，例如：偏斜的鈍角三角形、旋轉45度的正方形等。此外，Aslan 與 Arnas也在研究材料中加入明顯/不明顯的干擾圖形（palpable/impalpable distractor），明顯的干擾圖形例如在正方形測驗中加入三角形、圓形等圖形；不明顯的干擾圖形則是讓典型圖形的邊由直線變成彎曲的線，讓幾何圖形辨識的材料更為複雜。

臺灣學者張靜文與張麗芬（2014）[4] 同樣的參考了過去研究的幾何圖形材料（Clements et al., 1999; Aslan & Arnas, 2007；Tsamir et al., 2008），自編四種不同幾何圖形（圓形、正方形、長方形、三角形）的「幾何圖形辨識任務」。不同於Aslan 與 Arnas（2007）[3] 未明確定義典型圖形，張靜文與張麗芬先請51名大學生評估四種幾何圖形，發現80%的人將水平方向的圖形定義為典型圖形，並以此作為典型圖形的設計準則，後續再依據典型圖形設計非典型圖形、類似圖形，以及首次加入開放圖形等四類題型。張靜文與張麗芬的非典型圖形等同是Aslan 與 Arnas的非典型設計；而類似圖形則等同是Aslan 與 Arnas的不明顯干擾圖形。研究者整理van Hiele理論與上述文獻後，陳述各類型圖形變化如下：

（一）典型圖形

典形圖形可說是個人內心中最能代表該形狀的圖形，也就是原型（Prototype, van Hiele, 1986），舉例而言，幼兒可能會視太陽為圓形的原型，任何像是太陽的東西都會被認為是圓形。圖形以水平呈現的圓形、正方形、長方形（上下兩邊長，左右兩邊短），以及正三角形為典型（張靜文、張麗芬，2014）。

（二）非典型圖形

非典型圖形為典形圖形的變形，以圓形而言，設計大小不同（Size）的圓作為非典型的圖形；正方形而言，設計大小不同與改變方向（Orientation）的正方形為非典型圖形；長方形而言，設計大小不同、改變方向與長寬比例不同（Aspect ratio）作為非典型的圖形；三角形而言，設計大小不同、改變方向、底高比例不同與偏斜（Skewness）作為非典型的圖形（Clements et al.,1999; Aslan & Atkas, 2007），而臺灣學者張靜文與張麗芬（2014）則多加入了圖形外圍線條加粗作為非典型的圖形。

（三）類似圖形（干擾圖形）

類似圖形，也稱干擾圖形，用以擾亂兒童辨識圖形。明顯的干擾圖形（palpable distractor）像是在正方形的測驗中加入了其他的圖形（圓形、長方形等，Aslan & Atkas, 2007）；不明顯的干擾圖形（impalpable distractor），也就是張靜文與張麗芬（2014）研究中的類似題型，係指外觀像是典型圖形，但是邊緣可能凹凸，或呈弧線等不正確圖形。

（四）開放圖形

開放圖形是指有缺口或是由虛線構成的不正確圖形（張靜文、張麗芬，2014）。

圖形變化對幼兒的影響

上述四種變化的圖形對幼兒判斷幾何圖形有難易上的差別，Aslan 與Arnas（2007）的研究以100名三歲至六歲幼兒為研究對象，發現他們在辨識典型圖形表現較佳，非典型圖形方面則顯得較為困難，Aslan 與 Arnas認為幼兒較難以辨識非典型圖形的原因是受到偏斜、方向改變，以及底、高（邊長）比例變化干擾所致，此外，幼兒很容易將不明顯的干擾圖形判斷為正確的圖形。張靜文與張麗芬（2014）的研究則以120名四至六歲幼兒為研究對象，發現在不同題型表現上，學齡前幼兒最容易辨識的題型為典型題型，其次是開放題型、類似題型，表現不佳的則是非典型題型。

綜上所述，圖形的變化有典型、非典型、類似與開放圖形，學齡前幼兒判斷典型圖形比非典型圖形還好，且非典型的形變（偏斜、底高（邊長）比例不同）更容易影響幼兒判斷幾何圖形的能力。因此，建議家長與教學者教學時，可以先從典型圖形教起，並逐漸的在幼兒的眼前操控各種變形，像是距離拉遠（縮小），以及旋轉角度，讓幼兒可以理解就算形狀產生形變，尚屬於同一種圖形。

參考文獻

1. 周淑惠 （1995）。幼兒數學新論－教材教法。台北：心理出版社。
2. Mary A. H. （1999）. Young children’s developing understanding of geometric shapes. Teaching Children Mathematics, 5 （6）, 353-357. 
3. Aslan, D., & Arnas, Y. A. （2007）. Three- to six-year-old children’s recognition of geometric shapes. International Journal of Early Years Education, 15（1）, 83-104.
4. 張靜文、張麗芬 （2014）。幼兒幾何圖形辨識之研究。教育研究學報，48（2），101-125。
6. van Hiele, P. M. （1986）. Structure and insight. A Theory of mathematics education. London: Academic Press.